FUNGSI NON LINEAR

FUNGSI KUADRAT

Fungsi kuadrat dengan satu variable bebas adalah fungsi polynomial tingkat dua, dimana fungsi ini mempunyai bentuk umum ,

Y = f(X) = a₀ + a₁X + a₂X²

atau bila koefisien-koefisien diubah, maka bentuknya adalah,

Y = f(X) = aX² + bX + c

Dimana: Y = Variabel terikat

X = Variabel bebas

a, b dan c = Konstanta, dan a ≠ 0.

A. Identifikasi Persamaan Kuadrat

Bentuk Umum :

Apabila p=0

Identifikasinya :

Jika a = b ≠ 0, kurvanya sebuah lingkaran

Jika a ≠ b, tetapi bertanda sama, kurvanya sebuah elips

Jika a da b berlawanan tanda, kurvanya sebuah hiperbola

Jika a = 0 atau b = 0, tetapi tidak keduanya, kurvanya sebuah parabola.

B. Parabola

Bentuk umum :

sumbu simetri // sumbu vertikal

Atau

sumbu simetri // sumbu horizontal

Bentuk ini, bila digambarkan pada bidang koordinat akan mempunyai suatu parabola vertical.

Gambar diatas, (a) parabola vertical lengkung keatas disebut sebagai para bola terbuka keatas, sedangkan (b) parabola vertical lengkung kebawah disebut sebagai parabola lengkung kebawah.

Titik puncak (vertex) adalah titik dimana arah perubahan fungsi dari menaik ke menurun atau sebaliknya. Puncak ini dapat berupa titik minimum untuk terbuka keatas atau titik maksimum untuk terbuka kebawah.Untuk menentukan titik puncak dapat digunakan rumus :

Titik Puncak :

Dimana a,b dan c adalah parameter atau konstanta dalam persamaan.

Suatu parabola vertical mempunyai sebuah sumbu simetri yang sejajar dengan sumbu Y. sumbu simetri adalah suatu garis lurus yang melalui titik puncak dan membagi parabola menjadi dua bagian yang sama bentuknya.

TITIK POTONG SUMBU (INTERCEPTS)

Titik potong sumbu dari suatu kurva adalah titik dimana kurva tersebut melewati sumbu-sumbu. Titik potong sumbu x diperoleh dengan menetapkan y = 0 ke dalam persamaan kurva dan menghitung x. titik potong sumbu y diperoleh dengan menetapkan x = 0 kedalam persamaan kurva serta menghitung y.

RUMUS KUADRAT

Jika Y = 0, maka bentuk umum fungsi kuadrat Y = aX² + bX + c akan menjadi persamaan kuadrat X² + bX + c = 0. nilai-nilai penyelesaian untuk X yang disebut juga akar-akar dari persamaan kuadrat dapat diperoleh dengan menfaktorkan atau dengan rumus kuadrat. Yaitu:

-b ± √b² – 4ac

X_1,2 = 2a

Suku dalam akar disebut Diskriminan (D), nilai ini menentukan apakah parabola vertical memotong, menyinggung, atau tidak memotong/ menyinggung sumbu X.Jika nilai Diskriminan ini negatif, maka tidak ada titik potong dengan sumbu X; namun jika bernilai positif, maka terdapat dua titik potong dengan sumbu X. jadi rumus kuadrat ini digunakan bila nilai Diskriminan positif atau sama dengan nol.

MACAM – MACAM PARABOLA

1. jika a > 0 dan D > 0, maka parabola terbuka keatas dan memotong sumbu X di dua titik yang berlainan.

2. jika a > 0 dan D = 0, maka parabola akan terbuka keatas dan menyinggung sumbu X di dua titik yang berimpit.

3. jika a > 0 dan D < 0, maka parabola akan terbuka keatas dan tidak memotong atau menyinggung sumbu X.

4. jika a < 0 dan D > 0, maka parabola terbuka kebawah dan memotong sumbu X didua titik yang berlainan.

5. jika a < 0 dan D = 0, maka paraboloa terbuka kebawah dan menyinggung sumbu X didua titik yang berimpit.

6. jika a < 0 dan D < 0, maka parabola terbuka kebawah dan tidak memotong atau menyinggung sumbu X.

Jadi nilai dari parameter a menentukan apakah parabola terbuka keatas atau kebawah, sedangkan nilai Diskriminan menyatakan apakah parabola memotong atau menyinggung atau sebaliknya terhadap sumbu X.

y = f(x) = a ( x – p )²+ q , sehingga fungsi kuadrat ini mempunyai:

• Sumbu simetri dengan persamaan: x = p

• Titik puncak atau titik balik adalah : ( p,q )

Jenis Titik Balik:

• Apabila a > 0, maka titik balik minimum

• Apabila a < 0, maka titik balik maksimum

Contoh 1 :

Tentukan titik ekstrim parabola y = -x² + 6x – 2 dan perpotongannya dengan sumbu-sumbu koordinat.

Jawab :

y = -x² + 6x – 2; parabolanya terbuka ke bawah karena a = -1 < 0, titik ekstrimnya terletak di atas, berupa titik puncak. Koordinatnya :

Titik potong thd sumbu y : x = 0 --à y = -2

Titik potong thd sumbu x : y = 0 -à

Diperoleh x1 = 5,65 ; x2 = 0,35

Grafiknya :

Contoh 2 :

Tentukan titik ekstrim parabola y = 2x² - 8x + 5 dan perpotongannya dengan sumbu-sumbu koordinat.

FUNGSI PANGKAT TIGA

Polinomial tingkat dengan satu variable bebas disebut sebagai fungsi ku8bik, dan mempunyai bentuk umum.

Y = a₀ + a₁X + a₂X + a₃X

Dimana a₃ tidak sama dengan nol.

Fungsi ini bila digambarkan dalam bidang koordinat kartesius, kurvanya mempunyai dua lengkung (concave) yaitu lengkung keatas dan lengkung kebawah.

LINGKARAN

Secara geometri, suatu lingkaran didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik pertemuan bidang yang mempunyai jarak tertentu dari suatu titik yang disebut pusat jarak titik-titik tersebut dari pusat jari-jari lingkaran. Bentuk umum dari persamaan lingkaran adalah,

AX² + CY² + DX + EY +F = 0

Dimana A = C tidak sama dengan nol

A dan C mempunyai tanda yang sama

Persamaan diatas dapat diubah kedalam bentuk standar persamaan menjadi:

(X-h)² + (Y-k)² = r²

dimana (h, k) = pusat lingkaran

r = jari-jari lingkaran

Jika titik pusat lingkaran berimpit dengan titik asal (0,0), atau h = 0 dan k = ), serta jari-jari r, maka persamaan lingkaran dapat ditulis menjadi :

X² + Y² = r²

Untuk mengetahui apakah suatu lingkaran ada atau tidak dapat diketahui pada jari-jari lingkarannya (r²), yaitu :

Jika r² < 0, tidak ada lngkaran (jari-jari imajiner)

Jika r² = 0, terdapat lingkaran berupa suatu titik (jari-jari nol)

Jika r²> 0, terdapat lingkaran.

ELIPS

Secara geometri, elips didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik dalam bidang yang jumlah jarak dari dua titiknya konstan. Suatu elips mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus. Sumbu yang panjang disebut sumbu utama, dan sumbu yang pendek disebut sumbu minor. Titik potong sumbu-sumbu tersebut adalah titik pusat elips.

Bentuk umum persamaan elips adalah,

AX² + CY² + DX + EY + F = 0

Dimana : A tidak sama dengan C

A dan C mempunyai tanda yang sama.

Bentuk umum elips ini dapat diubah kedalam bentuk standar elips menjadi:

(X-h)² a² +(Y-k)²

+ = 1

a² b²

PENERAPAN FUNGSI NON-LINEAR

FUNGSI PERMINTAAN

Bentuk umum fungsi permintaan kuadrat P = f(Q) adalah,

P = c + bQ + aQ²

Dimana P = harga Produk

Q = Jumlah produk yang diminta

a, b dan c adalah konstanta, dan a < 0.

Karena parameternya a < 0 pada persamaan diatas, maka parabola akan terbuka kebawah.

Sebaliknya, bentuk umum fungsi permintaan kuadrat Q = f(P) adalah

Q = c + bP + aP²

Karena parameter a < 0 pada persamaan ini, maka parabola akan terbuka kekiri.

Jadi untuk fungsi kuadrat baik berbentuk P = f(Q) ataupun Q = f(P) grafiknya hanya diambil dari sebagian parabola yang terletak di kuadran 1.

FUNGSI RASIONAL

Fungsi permintaan yang berbentuk fungsi rasional, bentuk umumnya ada dua macam yang biasa digunakan dalam penerapan ekonomi. Pertama berbentuk

P= Q

Dimana P = harga Produk

Q = Jumlah produk yang diminta

C = Konstanta Positif

Bentuk seperti ini digambarkan dalam kurva berikut.

Selanjutnya bentuk umum yang kedua dari fungsi permintaan yang berbentuk fungsi rasional adalah

(Q-h) (P-k) = C

dimana Q = jumlah produk yang diminta

P = harga produk

C = Konstanta Positif

h = Sumbu asimtot tegak

k = Sumbu asimtot datar

Bentuk seperti ini digambarkan dalam kurva sebagai berikut.

FUNGSI PENAWARAN

Bentuk umum fungsi penawaran kuadrat P = f(Q) adalah

P = c + bQ + aQ²

Dimana P = harga produk

Q = Jumlah barang yang ditawarkan

a, b dan c adalah konstanta, dan a > 0

karena parameter a > 0 , maka parabola akan terbuka keatas, seperti dibawah ini

P = c + bQ + aQ²

(0,P)

Sedangkan bila fungsi penawaran kuadrat berbentuk Q =f(P), maka bentuk umumnya adalah

Q = c + bP + aP²

Dimana Q = Jumlah produk yang ditawarkan

P = Harga produk

a, b dan c adalah konstanta, dan a > 0

Karena parameternya a > 0 pada persamaan, maka parabola akan terbukia kekanan.seperti dibawah ini.

(0,P)

(Q,P)

KESEIMBANGAN PASAR

Jumlah dan harga pasar dapat diperoleh secara geometri dengan menggambarkan kurva permintaan dan kurva penawaran secara bersama dalam satu diagram. Keseimbangan pasar dapat diperoleh dengan memecahkan fungsi permintaan dan penawaran melalui metode eliminasi atau substitusi.

FUNGSI PENERIMAAN TOTAL

Produsen adalah hasil kali antara harga per unit produk dengan jumlah produk yang dijual.

TR = P.Q

Dimana TR =Penerimaan total

Q =Jumlah produkyang dijual

P =Harga produk per unit

Bila fungsi permintaan dinyatakan oleh P =b-aQ,

Maka

TR = P.Q

TR = (b – aQ)Q

TR = BQ – aQ²

-b -(b)²

Titik puncak = 2a ‘ 4ac

KURVA TRANSFORMASI PRODUKSI

Sebagai tempat kedudukan kombinasi antara jumlah dua jenis produk yang dapat dihasilkan dengan faktor produksi tertentu. Kurva transformasi produksi berupa kurva parabola, elips, hiperbola,atau lingkaran.

KURVA INDEFERENS

Kurva indeferens dapat diperoleh dari fungsi utilitas yang berbentuk,

U = f(X, Y)

Dimana U = Tingkat utilitas atau kepuasan total konsumen

X = Jumlah barang X yang dikonsumsi

Y = Jumlah barang Y yang dikonsumsi

Kurva Indeferens berbentuk Lingkaran

Lingkaran X² + Y²= a² yang titik pusatnya dipindahkan ke titik (a, a).

(X – a)² + (Y – a)² = a²

Kurva Indeferens berbentuk Hiperbola

Hiperbola sama sisi XY = a yang dapat digeser sejajar sampai pusatnya berimpit dengan titik (-h,-k) dikuadrat ketiga, sehingga :

(X + h ) (Y + k)

Sumbu asimtot tegak X = -h dan sumbu asimtot datar Y = -k

Titik potong sumbu X = - h

Titik potong sumbu X = - k

Kurva Indeferens berbentuk Parabola

Parabola Y = yang dipindahsejajar sehingga titik puncaknya beradapada garis Y = -k dengan sumbu X nya berubah menurut h(a + 1)

Maka

{X – h (a + 1)}²

Y + k =

a²

bila parameter a, maka kurva bergeser sepanjang garis Y = -k dan membentuk sehimpunan kurva parabola.

Latihan

Tentukan titik ekstrim dan keterbukaan parabola:

1. x² – 4 x + y + 14 = 0

2. y = 3 + 2x – x²

3. 5x² + 4y = 12

4. y = 3x² – 30x + 77

catatan windi

Minggu, 25 Desember 2011

Belajar matematika ekonomi