matematika ekonomi

DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA

Materi Yang Dipelajari

• Kuosien Diferensi dan Derivatif

• Kaidah- Kaidah Diferensiasi

• Hakikat Derivatif dan Diferensial

• Derivatif dari Derivatif

• Hubungan antara Fungsi dan Derivatifnya

- Fungsi menaik dan fungsi menurun

- Titik ekstrim fungsi parabolik

- Titik ekstrim dan titik belok fungsi kubik

1. Kuosien Diferensi dan Derivatif

Jika y = f(x) dan terdapat tambahan variable bebas x sebesar  Δx  , maka :

            y            = f(x)

            y  + Δ y  = f (x + Δ x)

                   Δ y  = f(x + Δ x) – y

                   Δ y  = f(x + Δ x) – f(x)                

Dimana Δ x dalah tambahan x dan Δ y adalah tambahan y. Apabila ruas kiri dan ruas kanan pada persamaan di atas dibagi oleh Δ x, maka diperoleh :

                       

Proses penurunan sebuah fungsi  disebut proses pendiferensian atau diferensiasi, yang merupakan  penentuan limit suatu  kuosien diferensi. Hasil dari proses diferensiasi tersebut dinamakan turunan atau derivatif(derivative).

Cara menuliskan turunan dapat dilakukan dengan beberapa macam notasi, yaitu :

Kuosien diferensi Δ y / Δ x  adalah leren (slope) dari garis atau kurva y=f(x).

2. KAIDAH-KAIDAH DIFERENSIASI

1. Diferensiasi konstanta

    Jika y = k, dimana k adalah konstanta maka dy / dx = 0

    Contoh :

                        y = 5, maka dy/dx = 0

           

2. Diferensiasi fungsi pangkat

    Jika y = xⁿ, dimana n adalah konstanta, maka :

                

     Contoh : y = x³       , 

3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi

    Jika y = kv, dimana v = h(x), maka

           

     Contoh : y = 5 x³    ,

4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi

    Jika  y = k/v, dimana v = h(x),maka

           

    Contoh :       

5. Diferensiasi penjumlahan(pengurangan) fungsi

    Jika y = u ± v,   dimana u = g(x) dan v=h(x), maka

                     

    Contoh :

            Y = 4 x² +  x³                          misalkan : u = 4 x² → du/dx = 8 x

                                                                             v = x³ → dv/dx = 3x²    

           

                  = 8 x + 3 x²

6. Diferensiasi perkalian fungsi

    Jika y = uv, dimana u = g(x) dan v = h(x), maka

           

    Contoh : y = (4 x²) (x³)

                       

                               = (4x²) (3x²) + (x³) (8x) = 12 x⁴ + 8 x⁴ = 20 x⁴   

7. Diferensiasi pembagian fungsi

    Jika y = u/v,   dimana u = g(x) dan v = h(x), maka

           

    Contoh :

           

                       

8. Diferensiasi fungsi komposit

    Jika y = f(u), sedangkan u = g(x), dengan kata lain   y = f{g(x)}

    maka,

    Contoh : y = (4 x³ + 5)²                   misalkan:  u =4 x³ + 5, sehingga  y = u²

                                                                            du/dx  =  12 x²            dy/du = 2 u

           

                

      = 2 u(12 x²) = 2(4 x³ + 5)(12 x²) = 96 x⁵ + 120 x²

9. Diferensiasi fungsi berpangkat

    Jika y= uⁿ, dimana u = g(x) dan n adalah konstanta,

    maka,  

   Contoh : y = (4x³ + 5)²                     misalkan : u = 4 x³ + 5 → du/dx = 12 x²

           

                  =  2(4 x³ + 5)(12 x²) = 96 x⁵ + 120 x²

10. Diferensiasi implisit

      Jika f(x, y) = 0 merupakan fungsi implisit sejati (tidak mungkin dieksplisitkan), dy/dx  dapat diperoleh dengan mendiferensiasikannya suku demi suku, dengan menganggap y sebagai fungsi dari x,

Contoh :

            4 xy² – x² + 2y = 0, tentukan dy/dx?

           

3. DERIVATIF DARI DERIVATIF

            Tergantung pada derajatnya, setiap fungsi dapat diturunkan lebih dari satu kali. Dengan perkataan lain. Turunannya masih dapat diturunkan lagi.

            Fungsi awal                 : y = f(x)

            Turunan pertama         :

            Turunan kedua            :

            Turunan ketiga            :

            Turunan ke – n            :

Contoh :

            y = f(x) = x³ – 4 x² + 5 x – 7

            y’ = dy/dx = 3 x² – 8 x + 5

            y” = d²y/dx² = 6 x – 8

            y”’ = d³y/dx³ = 6

            y”” = d⁴y/dx⁴ = 0

4. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA

            Berdasarkan  kaidah diferensiasi, dapat disimpulkan bahwa turunan dari suatu fungsi berderajat “n” adalah sebuah fungsi berderajat “n-1”. Misalnya Turunan dari fungsi berderajat 3 adalah sebuah fungsi berderajat 2, turunan dari fungsi berderajat 2 adalah sebuah fungsi berderajat 1; turunan dari fungsi berderajat 1 adalah sebuah fungsi berderajat 0 atau konstanta.

Contoh :

            y = f(x) = ⅓x³ – 4 x² + 12 x – 5 ………………………….    Fungsi kubik  

            y’ = dy/dx =  x² – 8 x + 12 ……………………………….   Fungsi kuadrat

            y” = d²y/dx² = 2 x – 8 ……………………………………    fungsi linear

            y”’ = d³y/dx³ = 2 …………………………………………   fungsi konstanta

           

4.1. Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun

            Derivatif pertama sebuah fungsi non-liner dapat digunakan untuk menentukan apakah kurva  dari fungsi yang bersangkutan menaik ataukah menurun pada kedudukan tertentu. Dalam kasus khusus, derivatif pertama dapat pula menunjukkan titik ekstrim sebuah fungsi non-liner.

Jika derivatif pertama f’(a) > 0 (lereng kurvanya positif pada x = a), maka y = f(x) merupakan fungsi menaik pada kedudukan x = a; yakni y = f(x) menaik manakala x bertambah sesudah        x = a. Sedangkan jika derivatif pertama f’(a) < 0 (lereng kurvanya negative pada x = a), maka y = f(x) merupaka fungsi menurun pada kedudukan x = a; yakni y = f(x) menurun manakala x bertambah sesudah x = a.

Uji Tanda.

Apabila derivatif pertama f’(x) = 0, berarti y = f(x) berada di titik ekstrimnya. Guna menentukan apakah titik ekstrim tersebut merupakan titik maksimum ataukah titik minimum, perlu dilakukan uji tanda terhadap f’(a) = 0. Jika f’(x) > 0 untuk x < a dan f’(x) < 0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum. Sedangkan jika f’(x) < 0 untuk x < a dan f(x) > 0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum.

Contoh :

Tentukan apakah y = f(x) = ⅓x³ – 4 x² + 12 x – 5 merupakan fungsi menaik ataukah fungsi menurun pada x = 5 dan x = 7. Selidiki pula untuk x = 6.

f’(x) = x² – 8 x + 12

→ f’(5) = 5² – 8(5) + 12 = -3 < 0, berarti y = f(x) menurun pada x = 5

→ f’(7) = 7² – 8(7) + 12 =  5 > 0, berarti y = f(x) menaik pada x = 7

→ f’(6) = 6² – 8(6) + 12 = 0, berarti y = f(x) berada di titikekstrim pada x = 6; karena f’(x) < 0 untuk x < 6 dan f’(x) > 0 untuk x > 6, titik ekstrim pada x = 6 ini adalah titik minimum.

4.2. Titik Ekstrim Fungsi Parabolik

            Dalam hal y = f(x) dalah sebuah fungsi parabola, derivatif pertama berguna untuk menentukan letak titik ekstrimnya, sedangkan derivatif kedua bermanfaat untuk mengetahui jenis titik ekstrim yang bersangkutan

Misalkan :

            y = f(x) =  x² – 8 x + 12 ……………………………….        Fungsi parabola

            y’ = f’(x) = dy/dx = 2 x – 8 ……………………………       fungsi linear

            y” = f”(x) = d²y/dx² = 2 ……………………………….        fungsi konstanta

           

            Parabola  y = x² – 8 x + 12 mencapai titik ekstrim, dalam hal ini titik minimum yaitu      (4, -4) , tepat pada saat turunann pertama dari fungsi parabola tadi (yakni fungsi linier y’ = 2 x – 8) sama dengan nol. Pada y’= 0, nilai variable bebas x = 4, dan pada parabola tersebut mencapai titik ekstrimnya yaitu pada kedudukan x = 4 dan y = -4. Nilai y = -4 untuk parabola itu diperoleh melalui substitusi x = 4 ke dalam persamaan parabolanya.

 

          12

          10

            8

            6

            4

            2

            0

           -2       2        4         6         8

           -4

           -6

           -8

Jadi :

*   Parabola y = f(x)    mencapai titik ekstrim pada y’=0

→ jika  y” < 0  :          bentuk parabolanya terbuka ke bawah,

                                    Titik ekstrimnya adalah titik maksimum

→ jika  y” > 0 :           bentuk parabolanya terbuka ke atas,

                                    Titik ekstrimnya adalah titik minimum.

Latihan :

1. y = 2 x3 – 4 x2 + 7 x – 5
2. y = (x2 – 4)(2 x – 6)
3.