matematika ekonomi

APLIKASI DIFERENSIAL DI BIDANG EKONOMI

1. Elastisitas

        Elastisitas suatu fungsi y =f(x) berkenaan  dengan x didefinisikan sebagai :

       

        Elastisitas y = f(x) merupakan limit dari rasio antara perubahan relative dalam y terhadap perubahan relative dalam x, untuk perubahan x yang sangat kecil atau mendekati nol. Dapat dikatakan juga sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap persentase perubahan x.

a.    Elastisitas Permintaan

Elastisitas permintaan adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga.

Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Q_d = f(P), maka elastisitas permintaannya :

       

Permintaan akan suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila , elastic-uniter jika   , dan inelastic jika .  Barang yang permintaannya elastic mengisyaratkan bahwa jika harga barang tersebut berubah sebesar persentase tertentu, maka permintaan terhadapnya akan berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase yang lebih besar daripada persentase perubahan harganya.

Contoh :

Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q_d = 25 – 3 P². Tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 5.

      

 (elastic) berarti bahwa apabila, dari kedudukan P = 5, harga naik (turun) sebesar 1 persen maka jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 3 persen.

b.   Elastisitas Penawaran

Elastisitas penawaran adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang ditawarkan terhadap persentase perubahan harga.

Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Q_s = f(P), maka elastisitas penawarannya :

       

Penawaran akan suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila , elastic-uniter jika   , dan inelastic jika .  Barang yang penawarannya inelastic mengisyaratkan bahwa jika harga barang tersebut berubah sebesar persentase tertentu, maka penawarannya berubah (secara searah) dengan persentase yang lebih kecil daripada persentase perubahan harganya.

Contoh :

Fungsi penawaran akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q_s = -200 + 7 P². Tentukan elastisitas penawarannya pada tingkat harga P = 10 dan P = 15.

      

Pada P = 10,   

Pada P = 15,   

c.    Elastisitas Produksi

Elastisitas produksi ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jika P melambangkan jumlah produk yang dihasilkan sedangkan X melambangkan jumlah factor produksi yang digunakan, dan fungsi produksi dinyatakan dengan P = f(X), maka elastisitas produksinya :

       

Contoh :

Fungsi produksi suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 6 X² – X³. Hitunglah elastisitas produksinya pada tingkat penggunaan factor produki sebanyak 3 unit dan 7 unit.

               

Pada X = 3,   

Pada X = 7,   

2. Biaya Marjinal dan Penerimaan Marjinal

a.    Biaya Marjinal

Biaya marjinal (marginal cost, MC) adalah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk. Fungsi biaya marjinal merupakan merupakan derivatif pertama dari fungsi biaya total. Jika fungsi biaya total dinyatakan dengan C = f(Q) dimana C adalah biaya total dan Q jumlah produk, maka biaya marjinalnya :

       

Contoh :

Biaya total      :

Biaya marjinal        :

Pada umumnya fungsi biaya total yang non linier berbentuk fungsi kubik, sehingga fungi biaya marjinalnya berbentuk fungsi kuadrat. Kurva biaya marjinal (MC) selalu mencapai minimumnya tepat pada saat kurva biaya total © berada pada posisi titik beloknya.

MC minimum jika (MC)’ = 0

b.   Penerimaan Marjinal

Penerimaan marjinal (marginal revenue,MR) adalah penerimaan tambahan yang diperoleh berkenaan bertambahnya satu unit keluaran yang diproduksi atau terjual. Fungsi penerimaan marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi penerimaan total. Jika funsi penerimaan total dinyatakan dengan R = f(Q) dimana R penerimaan total dan Q adalah jumlah keluaran, maka penerimaan marjinalnya :

               

Karena fungsi penerimaan total yang non-linier pada umumnya berbentuk fungsi kuadrat (parabolic), fungsi penerimaan marjinalnya akan berbentuk fungsi linier. Kurva penerimaan marjinal (MR) selalu mencapai nol tepat pada saat kurva penerimaan total ® berada pada posisi puncaknya.

Contoh :

Misalkan fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh P = 16 – 2 Q.

Penerimaan total     : R = P . Q = f(Q) = 16 Q – 2 Q²

Penerimaan marjinal      : MR = R’ = 16 – 4 Q

Pada MR = 0,  Q = 4

P = 16 – 2 (4) = 8

R = 16(4) – 2(4)² = 32

3. Utilitas Marjinal

        Utilitas Marjinal (marginal utility,MU) adalah utilitas tambahan yang diperoleh konsumen berkenaan satu unit tambahan barang yang dikonsumsinya. Fungsi utilitas marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total dinyatakan dengan  U = f(Q) dimana U utilitas total dan Q jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marjinalnya :

                       

Karena fungsi utilitas total yang non-linier pada umumnya berbentuk fungsi kuadrat, fungsi utilitas marjinalnya akan berbentuk fungsi linier. Kurva utilitas marjinal (MU) selalu mencapai nol tepat pada pada saat kurva utilitas total (U) berada pada posisi puncaknya.

Contoh :

U = f(Q) = 90 Q – 5Q²

MU = U’ = 90 – 10 Q

U maksimum pada MU = 0

MU = U’= 90 – 10 Q

U maksimum pada MU = 0

MU = 0 →

U maksimum  = 90(9) – 5 (9)²

                = 810 – 405

                = 05

4. Produk Marjinal

        Produk marjinal (marginal product, MP) adalah produk tambahan yang dihasilkan dari satu unit tambahan factor produksi yang digunakan. Fungsi produk marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi produk total dinyatakan dengan P =f(X), dimana P melambangkan jumlah produk total dan X adalah jumlah masukan, maka produk marjinalnya :

               

Fungsi produk total yang non-linear pada umumnya berbentuk fungsi kubik,fungsi produk marjinalnya akan berbentuk fungsi kuadrat (parabolic). Kurva produk marjinal (MP) selalu mencapai nilai ekstrimnya, dalam halini nilai maksimum, tepat pada saat kurva produk total (P) berada pada posisititik beloknya; kedudukan ini mencerminkan berlakunya hokum tambahan hasil yang semakin berkurang (the law of the diminishing return). Produk total mencapai puncaknya ketika produk marjinalnya nol. Sesudah kedudukan ini, produk totalmenurun bersamaan dengan produk marjinalnya menjadi negative. Area produk marjinal negative menunjukkan bahwa penambahan penggunaan masukan justru akan mengurangi jumlah produk total, mengisyaratkan terjadinya disefisiensi dalam kegiatan produksi. Jika produk total hendak ditingkatkan jumlah masukan yang digunakan harus dikurangi.

Contoh :

Produksi total          : P = f(X) = 9 X² – X³

Produk marjinal      : MP = P’ = 18 X – 3 X²

P maksimum pada P’ = 0, yakni pada X = 6, dengan P _maksimum = 108.

P berada di titik belok dan MP maksimum pada P” = (MP)’ = 0, yakni pada X = 3

5. Analisis Keuntungan Maksimum

        Tingkat produksi yang memberikan keuntungan maksimum, atau menimbulkan kerugian maksimum, dapat dilakukan dengan pendekatan diferensial. Karena baik penerimaan total (R) maupun biaya total (C) sama-sama merupakan fungsi dari jumlah keluaran yang dihasilkan/terjual (Q), maka dari sini dapat dibentuk fungsi baru yaitu fungsi keuntungan (π). Nilai ekstrim  atau nilai optimum π dapat ditentukan dengan cara menetapkan derivatif pertamanya sama dengan nol.

        R = r(Q)                  π = R – C = r(Q) – c(Q) = f(Q)

        C = c(Q)          π  optimum jika π’ = f’(Q) = d π/dQ = 0

Karena π = R – C

Maka π’ = R’ – C’ = MR – MC      → Berarti pada π optimum :

                                             π’ = 0  →  MR – MC = 0  →  MR = MC

Untuk mengetahui apakah  π’ = 0 mencerminkan keuntungan maksimum ataukah justru kerugian maksimum, dapat diuji dengan derivatif kedua dari fungsi π.

        π = R – C = f(q)

        π optimum apabila π’ = 0 atau MR = MC

        jika π” < 0      π maksimum = keuntungan mksimum

        jika π” > 0      π minimum   = kerugian maksimum

Contoh :

Misalkan fungsi r(Q) dan c(Q) adalah

        R = r(Q) = -2 Q² + 1000 Q

        C = c(Q) = Q³ – 59 Q² + 1315 Q + 2000

Maka :

       

        π = R – C = -Q³ + 57 Q² -315 Q – 2000

Agar keuntungan maksmum

        π’ =  0

- 3 Q² + 114 Q – 315 = 0

- Q² + 38 Q – 105 = 0

(- Q + 3 ) (Q – 35) = 0,

Diperoleh Q₁ = 3 dan Q₂ = 35

Derivatif kedua adalah :

π” = -6 Q + 114

Jika : Q = 3,    π” = -6 (3) + 114   =   96 > 0

          Q = 35,  π” = -6 (35) + 114 = -96 <0

       

KArena   π” < 0 untuk Q = 35, maka tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum adalah Q = 35. Sedangkan besarnya keuntungan maksimum adalah :

        π = -(35)³ + 57 (35)² -315 (35) – 2000 = 13.925

        Jadi keuntungan maksimum didapat  pada    π = 13.925.

Latihan :

Sebuah perusahaan mempunyai fungsi total biaya dan permintaan sebagai berikut :

C = 1/3 Q³ - 7 Q² + 111 Q + 50

Q = 100 – P

Pertanyaan :

a.    Cari MC dan MR

b.   Carilah tingkat output Q yang memaksimumkan keuntungan

c.    Berapakah maksimum laba tersebut?